Modelo de média móvel autorregressiva (ARMA) Modelo de previsão ou processo em que tanto a análise de auto-regressão quanto os métodos de média móvel são aplicados a dados de séries temporais bem comportadas. ARMA assume que a série de tempo é estacionária flutua mais ou menos uniformemente em torno de uma média invariante no tempo. As séries não-estacionárias precisam ser diferenciadas uma ou mais vezes para alcançar a estacionaridade. ARMA modelos são considerados inadequados para análise de impacto ou para os dados que incorpora choques aleatórios. Veja também o modelo de média móvel integrada (ARIMA) autoregressiva. 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(P, d, q) Modelos para Análise de Série de Tempo Por Michael Halls-Moore em 15 de setembro de 2017 No conjunto anterior de artigos (Partes 1. 2 e 3) entrámos em detalhes significativos sobre os modelos de séries temporais lineares AR (p), MA (q) e ARMA (p, q). Utilizamos esses modelos para gerar conjuntos de dados simulados, modelos ajustados para recuperar os parâmetros e, em seguida, aplicamos esses modelos aos dados das ações financeiras. Neste artigo vamos discutir uma extensão do modelo ARMA, ou seja, o modelo de média móvel integrada ou modelo ARIMA (p, d, q). Veremos que é necessário considerar o modelo ARIMA quando temos séries não-estacionárias. Tais séries ocorrem na presença de tendências estocásticas. Recapitulação Rápida e Próximas Etapas Até o momento, consideramos os seguintes modelos (os links o levarão para os artigos apropriados): Constantemente construímos nossa compreensão de séries temporais com conceitos como correlação serial, estacionário, linearidade, resíduos, correlogramas, Simulando, ajuste, sazonalidade, heterocedasticidade condicional e teste de hipóteses. Até agora ainda não realizamos qualquer previsão ou previsão de nossos modelos e, portanto, não tiveram qualquer mecanismo para a produção de um sistema de negociação ou curva de equidade. Uma vez estudado ARIMA (neste artigo), ARCH e GARCH (nos próximos artigos), estaremos em posição de construir uma estratégia básica de negociação de longo prazo com base na previsão dos retornos do índice do mercado de ações. Apesar do fato de eu ter entrado em um monte de detalhes sobre os modelos que sabemos que em última análise não terá grande desempenho (AR, MA, ARMA), estamos agora bem versados no processo de modelagem de séries temporais. Isso significa que, quando estudarmos modelos mais recentes (e até mesmo aqueles atualmente na literatura de pesquisa), teremos uma base de conhecimento significativa sobre a qual desenhar, a fim de efetivamente avaliar esses modelos, em vez de tratá-los como um turn key Prescrição ou caixa preta. Mais importante ainda, ele nos dará a confiança para estendê-los e modificá-los por conta própria e entender o que estamos fazendo quando o fazemos gostaria de agradecer por ter sido paciente até agora, como pode parecer que esses artigos estão longe de A ação real da negociação real. No entanto, a verdadeira investigação quantitativa de negociação é cuidadosa, medido e leva um tempo significativo para obter direito. Não há nenhuma correção rápida ou ficar rico esquema em negociação quant. Estávamos quase prontos para considerar nosso primeiro modelo de negociação, que será uma mistura de ARIMA e GARCH, por isso é imperativo que passemos algum tempo entendendo bem o modelo ARIMA Depois de termos construído nosso primeiro modelo de negociação, vamos considerar mais Modelos avançados, tais como processos de memória longa, modelos de espaço de estados (ou seja, o filtro de Kalman) e Vector Autoregressive (VAR), o que nos levará a outras estratégias de negociação mais sofisticadas. Modelos de ordem p, d, q Justificativa Os modelos ARIMA são usados porque podem reduzir uma série não-estacionária para uma série estacionária usando uma seqüência de etapas de diferenciação. Podemos lembrar do artigo sobre ruído branco e passeios aleatórios que, se aplicarmos o operador diferença a uma série randômica aleatória (uma série não-estacionária) ficamos com ruído branco (uma série estacionária): begin nabla xt xt - x wt Fim ARIMA essencialmente executa esta função, mas faz isso repetidamente, d vezes, a fim de reduzir uma série não-estacionário para um estacionário. Para tratar outras formas de não estacionaridade além das tendências estocásticas, podem ser usados modelos adicionais. Os efeitos da sazonalidade (como os que ocorrem nos preços das commodities) podem ser enfrentados com o modelo ARIMA sazonal (SARIMA), porém não estaremos discutindo muito sobre SARIMA nesta série. Os efeitos heteroscedásticos condicionais (como o agrupamento de volatilidade em índices de ações) podem ser abordados com ARCH / GARCH. Neste artigo vamos considerar série não estacionária com tendências estocásticas e ajustar modelos ARIMA para estas séries. Também produziremos previsões para nossa série financeira. Definições Antes de definir os processos ARIMA precisamos discutir o conceito de uma série integrada: Série Integrada de ordem d Uma série temporal é integrada de ordem d. I (d), se: begin nablad xt wt end Isto é, se diferenciarmos a série d vezes recebemos uma série de ruído branco discreto. Alternativamente, usando o Operador de Deslocamento Para Trás uma condição equivalente é: Agora que definimos uma série integrada, podemos definir o próprio processo ARIMA: Média Movente Integrada Autoregressiva Modelo de ordem p, d, q Uma série temporal é um modelo de média móvel integrada autorregressiva De ordem p, d, q. ARIMA (p, d, q). Se nablad xt é uma média móvel autorregressiva de ordem p, q, ARMA (p, q). Ou seja, se a série é diferenciada d vezes, e então segue um processo ARMA (p, q), então é uma série ARIMA (p, d, q). Se usarmos a notação polinomial da Parte 1 e Parte 2 da série ARMA, então um processo ARIMA (p, d, q) pode ser escrito em termos do Operador de Deslocamento para Trás. : Onde wt é uma série discreta de ruído branco. Há alguns pontos a observar sobre estas definições. Uma vez que a caminhada aleatória é dada por xt x wt pode-se ver que I (1) é outra representação, uma vez que nabla1 xt wt. Se suspeitarmos de uma tendência não linear, poderemos usar repetidas diferenças (isto é, d gt 1) para reduzir uma série a ruído branco estacionário. Em R podemos usar o comando diff com parâmetros adicionais, p. Diff (x, d3) para realizar diferenças repetidas. Simulação, Correlograma e Ajuste do Modelo Já que já usamos o comando arima. sim para simular um processo ARMA (p, q), o procedimento a seguir será semelhante ao realizado na Parte 3 da série ARMA. A principal diferença é que vamos agora definir d1, ou seja, vamos produzir uma série de tempo não-estacionário com uma componente de tendência estocástica. Como antes vamos adaptar um modelo ARIMA aos nossos dados simulados, tentar recuperar os parâmetros, criar intervalos de confiança para esses parâmetros, produzir um correlograma dos resíduos do modelo ajustado e finalmente realizar um teste de Ljung-Box para estabelecer se temos Um bom ajuste. Vamos simular um modelo ARIMA (1,1,1), com o coeficiente autorregressivo alfa0,6 eo coeficiente de média móvel beta-0,5. Aqui está o código R para simular e traçar tal série: Agora que temos a nossa série simulada, vamos tentar ajustar um modelo ARIMA (1,1,1) a ele. Uma vez que conhecemos a ordem, vamos especificá-la simplesmente no ajuste: Os intervalos de confiança são calculados como: Ambas as estimativas de parâmetros estão dentro dos intervalos de confiança e estão próximas dos valores dos parâmetros verdadeiros da série ARIMA simulada. Portanto, não devemos nos surpreender ao ver os resíduos parecendo uma percepção de ruído branco discreto: Finalmente, podemos executar um teste de Ljung-Box para fornecer evidência estatística de um bom ajuste: podemos ver que o valor de p é significativamente maior do que 0,05 e, como tal, podemos afirmar que existe forte evidência de discreto ruído branco sendo um bom ajuste para os resíduos. Assim, o modelo ARIMA (1,1,1) é um bom ajuste, como esperado. Dados Financeiros e Previsão Nesta seção, vamos ajustar os modelos ARIMA à Amazon, Inc. (AMZN) e ao SampP500 US Equity Index (GPSC, no Yahoo Finance). Faremos uso da biblioteca de previsão, escrita por Rob J Hyndman. Vamos em frente e instalar a biblioteca em R: Agora podemos usar o quantmod para baixar a série de preços diários da Amazon a partir do início de 2017. Como já teremos tomado as diferenças de primeira ordem da série, o ajuste ARIMA realizado em breve será Não requerem d gt 0 para a componente integrada: Como na parte 3 da série ARMA, vamos agora fazer um loop através das combinações de p, d e q, para encontrar o melhor modelo ARIMA (p, d, q). Por ótimo, queremos dizer a combinação de ordem que minimiza o Critério de Informação Akaike (AIC): Podemos ver que uma ordem de p4, d0, q4 foi selecionada. Notavelmente d0, como já observamos as diferenças de primeira ordem acima: Se plotarmos o correlograma dos resíduos, podemos ver se temos evidências para uma série de ruído branco discreto: Existem dois picos significativos, a saber, k15 e k21, Esperam ver picos estatisticamente significativos simplesmente devido à variação de amostragem 5 do tempo. Vamos realizar um teste de Ljung-Box (ver artigo anterior) e ver se temos evidências de um bom ajuste: Como podemos ver o valor de p é maior que 0,05 e por isso temos evidência de um bom ajuste no nível 95. Podemos agora usar o comando de previsão da biblioteca de previsão para prever 25 dias de antecedência para a série de retornos da Amazon: Podemos ver as previsões de ponto para os próximos 25 dias com 95 (azul escuro) e 99 (azul claro) bandas de erro . Vamos usar essas previsões em nossa primeira estratégia de negociação de séries temporais quando chegarmos a combinar ARIMA e GARCH. Vamos executar o mesmo procedimento para o SampP500. Em primeiro lugar, obtemos os dados de quantmod e convertê-los em um diário log retorna fluxo: Nós encaixamos um modelo ARIMA looping sobre os valores de p, d e q: A AIC nos diz que o melhor modelo é o ARIMA (2,0, 1) modelo. Observe mais uma vez que d0, como já fizemos as diferenças de primeira ordem da série: Podemos traçar os resíduos do modelo ajustado para ver se temos evidências de ruído branco discreto: O correlograma parece promissor, então o próximo passo é executar O teste de Ljung-Box e confirmar que temos um bom ajuste de modelo: Como o valor de p é maior que 0,05 temos evidências de um bom ajuste de modelo. Por que é que no artigo anterior nosso teste de Ljung-Box para o SampP500 mostrou que o ARMA (3,3) era um ajuste fraco para o diário registar retornos Aviso que eu deliberadamente truncado os dados de SampP500 a partir de 2017 em diante neste artigo , O que convenientemente exclui os períodos voláteis em torno de 2007-2008. Por isso, temos excluído uma grande parte do SampP500 onde tivemos excessiva volatilidade clustering. Isso afeta a correlação serial da série e, portanto, tem o efeito de fazer a série parecer mais estática do que foi no passado. Este é um ponto muito importante. Ao analisarmos as séries temporais, precisamos ter muito cuidado com as séries condicionalmente heteroscedasticas, como os índices do mercado de ações. Em finanças quantitativas, tentar determinar períodos de volatilidade diferente é muitas vezes conhecido como detecção de regime. É uma das tarefas mais difíceis de alcançar. Bem, discuta este ponto detalhadamente no próximo artigo quando chegarmos a considerar os modelos ARCH e GARCH. Vamos agora traçar uma previsão para os próximos 25 dias do SampP500 log diário retorna: Agora que temos a capacidade de ajustar e prever modelos como ARIMA, foram muito perto de ser capaz de criar indicadores de estratégia para a negociação. Próximas etapas No próximo artigo vamos dar uma olhada no modelo Generalized Autoregressive condicional Heteroscedasticity (GARCH) e usá-lo para explicar mais da correlação serial em certas ações e séries de índice de equidade. Uma vez discutido o GARCH, estaremos em posição de combiná-lo com o modelo ARIMA e criar indicadores de sinal e, portanto, uma estratégia de negociação quantitativa básica. Michael Halls-Moore Mike é o fundador da QuantStart e tem estado envolvido na indústria de finanças quantitativas nos últimos cinco anos, principalmente como desenvolvedor quantitativo e, mais tarde, como consultor de comerciante de quant para hedge funds. Artigos relacionadosEu tenho tentado descobrir como escrever um tipo Quora resposta a esta pergunta. É realmente mais fácil explicar a matemática que para explicar o que é. Mas, let039s dar-lhe uma tentativa. Em primeiro lugar, ARMA é uma parte de um conjunto de técnicas para analisar dados que é seqüencial, geralmente com o tempo como uma variável independente. (No entanto, usei as técnicas para analisar a data em que o tempo não era um fator). Como os dados geralmente são tomados seqüencialmente no tempo em um dado intervalo, os dados em si são chamados de séries temporais. O objetivo dessas técnicas é encontrar uma equação que explique os dados e fazer uma previsão a partir dos dados. Estas previsões são utilizadas em estatística, economia, gestão industrial e em sistemas de controlo. ARMA em si é uma combinação de duas das técnicas: auto regressivo (AR) e média móvel (MA). Primeiro considerando a parte regressiva, esta é simplesmente uma curva linear ajustada a um conjunto de pontos de dados. À medida que um novo ponto de dados entra, a regressão é movida para cima um ponto eo ponto de dados mais antigo é descartado. O comprimento dos pontos de dados considerados é anotado como AR (4) onde são considerados 4 dos últimos pontos de dados. Os coeficientes da regressão são pesos ou parâmetros da equação e são usualmente encontrados usando a regressão dos mínimos quadrados. A parte da média móvel faz exatamente a mesma coisa, exceto o erro entre o valor real e o valor previsto é usado em vez dos pontos de dados. Assim, MA (3) seria uma média ponderada do erro atual e os dois últimos erros. Novamente os pesos são normalmente encontrados por subtração da média do ponto de dados e, em seguida, usando regressão de mínimos quadrados para determinar os pesos. Quando essas duas técnicas são reunidas por adição, o resultado seria um modelo ARMA (4,3). Há muitas extensões a estas técnicas básicas de AR e MA, incluindo termos de integração para um modelo ARIMA, usando termos não-lineares para um modelo NARMA, usando variáveis exógenas para formar modelos ARX, MAX, ARMAX e NARMAX. Outro conjunto pertencente a essas técnicas são os modelos ARCH e GARCH (as formas avançadas incluem também termos integrais e não-lineares) que utilizam termos que representam medidas estatísticas. EDITAR ADICIONADO: Veja meu comentário abaixo sobre bondade de ajuste. Há algo mais sobre isso que eu só pensei que eu estava deitado cama. ARMA e outros modelos deste tipo muitas vezes são muito bons em fazer um passo à frente previsões. No entanto, eles muitas vezes falham miseravelmente ao fazer estimativas multi passo. Eu acho que isso porque o próximo ponto é, provavelmente limitado limitado em quanto ela pode variar do ponto anterior na maioria dos casos. Mas o erro em ir mais longe é pelo menos aditivo e pode ser multiplicativo ou exponencial, resultando na previsão se afastando cada vez mais dos dados coletados reais. Assim, o usuário deve ter cuidado 718 Views middot Ver Upvotes middot Não é para ReproductionA RIMA significa Autoregressive Integrated Moving Average modelos. Univariada (vetor único) ARIMA é uma técnica de previsão que projeta os valores futuros de uma série baseada inteiramente em sua própria inércia. Sua principal aplicação é na área de previsão de curto prazo, exigindo pelo menos 40 pontos de dados históricos. Ele funciona melhor quando seus dados exibem um padrão estável ou consistente ao longo do tempo com uma quantidade mínima de outliers. Às vezes chamado Box-Jenkins (após os autores originais), ARIMA é geralmente superior às técnicas de suavização exponencial quando os dados são razoavelmente longos ea correlação entre as observações passadas é estável. Se os dados forem curtos ou altamente voláteis, então algum método de alisamento pode funcionar melhor. Se você não tiver pelo menos 38 pontos de dados, você deve considerar algum outro método que ARIMA. O primeiro passo na aplicação da metodologia ARIMA é verificar a estacionaridade. A estacionariedade implica que a série permanece a um nível razoavelmente constante ao longo do tempo. Se existe uma tendência, como na maioria das aplicações econômicas ou de negócios, os dados NÃO são estacionários. Os dados também devem mostrar uma variação constante em suas flutuações ao longo do tempo. Isto é facilmente visto com uma série que é fortemente sazonal e crescendo a um ritmo mais rápido. Nesse caso, os altos e baixos da sazonalidade se tornarão mais dramáticos ao longo do tempo. Sem que estas condições de estacionaridade sejam satisfeitas, muitos dos cálculos associados ao processo não podem ser calculados. Se um gráfico gráfico dos dados indica nonstationarity, então você deve diferenciar a série. A diferenciação é uma excelente maneira de transformar uma série não-estacionária em uma estacionária. Isto é feito subtraindo a observação no período atual do anterior. Se essa transformação é feita apenas uma vez para uma série, você diz que os dados foram primeiro diferenciados. Este processo elimina essencialmente a tendência se sua série está crescendo em uma taxa razoavelmente constante. Se ele está crescendo a uma taxa crescente, você pode aplicar o mesmo procedimento e diferença os dados novamente. Seus dados seriam então segundo diferenciados. Autocorrelações são valores numéricos que indicam como uma série de dados está relacionada a si mesma ao longo do tempo. Mais precisamente, ele mede quão fortemente os valores de dados em um número específico de períodos separados estão correlacionados entre si ao longo do tempo. O número de períodos separados é geralmente chamado de atraso. Por exemplo, uma autocorrelação no intervalo 1 mede como os valores 1 intervalo de tempo são correlacionados um ao outro ao longo da série. Uma autocorrelação no intervalo 2 mede como os dados dois períodos separados estão correlacionados ao longo da série. As autocorrelações podem variar de 1 a -1. Um valor próximo a 1 indica uma alta correlação positiva, enquanto um valor próximo de -1 implica uma correlação negativa elevada. Essas medidas são mais frequentemente avaliadas através de gráficos gráficos chamados correlagramas. Um correlagram traça os valores de autocorrelação para uma dada série em diferentes defasagens. Isto é referido como a função de autocorrelação e é muito importante no método ARIMA. A metodologia ARIMA tenta descrever os movimentos em séries temporais estacionárias como uma função do que são chamados parâmetros auto-regressivos e de média móvel. Estes são referidos como parâmetros AR (autoregessive) e parâmetros MA (média móvel). Um modelo AR com apenas 1 parâmetro pode ser escrito como. X (t) A (1) X (t-1) E (t) onde X (t) séries temporais sob investigação A (1) o parâmetro autorregressivo de ordem 1 X (t-1) (T) o termo de erro do modelo Isto simplesmente significa que qualquer valor dado X (t) pode ser explicado por alguma função de seu valor anterior, X (t-1), mais algum erro aleatório inexplicável, E (t). Se o valor estimado de A (1) fosse .30, então o valor atual da série estaria relacionado a 30 de seu valor 1 período atrás. Naturalmente, a série poderia estar relacionada a mais do que apenas um valor passado. Por exemplo, X (t) A (1) X (t-1) A (2) X (t-2) E (t) Isso indica que o valor atual da série é uma combinação dos dois valores imediatamente anteriores, X (t-1) e X (t-2), mais algum erro aleatório E (t). Nosso modelo é agora um modelo autorregressivo de ordem 2. Modelos de média móvel: Um segundo tipo de modelo Box-Jenkins é chamado de modelo de média móvel. Embora estes modelos parecem muito semelhantes ao modelo AR, o conceito por trás deles é bastante diferente. Os parâmetros de média móvel relacionam o que acontece no período t apenas aos erros aleatórios que ocorreram em períodos de tempo passados, isto é, E (t-1), E (t-2), etc., em vez de X (t-1), X T-2), (Xt-3) como nas abordagens autorregressivas. Um modelo de média móvel com um termo MA pode ser escrito da seguinte forma. O termo B (1) é chamado de MA de ordem 1. O sinal negativo na frente do parâmetro é usado apenas para convenção e normalmente é impresso Automaticamente pela maioria dos programas de computador. O modelo acima diz simplesmente que qualquer valor dado de X (t) está diretamente relacionado somente ao erro aleatório no período anterior, E (t-1) e ao termo de erro atual, E (t). Como no caso dos modelos autorregressivos, os modelos de média móvel podem ser estendidos a estruturas de ordem superior cobrindo diferentes combinações e comprimentos médios móveis. A metodologia ARIMA também permite a construção de modelos que incorporem parâmetros de média móvel e autorregressiva. Estes modelos são frequentemente referidos como modelos mistos. Embora isso torne uma ferramenta de previsão mais complicada, a estrutura pode de fato simular melhor a série e produzir uma previsão mais precisa. Modelos puros implicam que a estrutura consiste apenas de AR ou MA parâmetros - não ambos. Os modelos desenvolvidos por esta abordagem são geralmente chamados de modelos ARIMA porque eles usam uma combinação de auto-regressão (RA), integração (I) - referindo-se ao processo inverso de diferenciação para produzir as operações de previsão e de média móvel (MA). Um modelo ARIMA é geralmente indicado como ARIMA (p, d, q). Isso representa a ordem dos componentes autorregressivos (p), o número de operadores de diferenciação (d) e a ordem mais alta do termo médio móvel. Por exemplo, ARIMA (2,1,1) significa que você tem um modelo autorregressivo de segunda ordem com um componente de média móvel de primeira ordem cuja série foi diferenciada uma vez para induzir a estacionaridade. Escolhendo a Especificação Direita: O principal problema no clássico Box-Jenkins está tentando decidir qual especificação ARIMA usar - i. e. Quantos parâmetros AR e / ou MA devem ser incluídos. Isto é o que muito de Box-Jenkings 1976 foi dedicado ao processo de identificação. Ela dependia da avaliação gráfica e numérica das funções de autocorrelação da amostra e autocorrelação parcial. Bem, para os seus modelos básicos, a tarefa não é muito difícil. Cada um tem funções de autocorrelação que parecem uma certa maneira. No entanto, quando você subir em complexidade, os padrões não são tão facilmente detectados. Para tornar as questões mais difíceis, seus dados representam apenas uma amostra do processo subjacente. Isto significa que os erros de amostragem (outliers, erro de medição, etc.) podem distorcer o processo de identificação teórica. É por isso que a modelagem ARIMA tradicional é uma arte ao invés de uma ciência. Na velocidade em direção à média para o tempo contínuo autoregressive processos de média móvel com aplicações para mercados de energia Fred Espen Benth a ,. . Www Che Mohd Imran Che Taib b, c. Centro de Matemática para Aplicações, Universidade de Oslo, PO Box 1053 Blindern, N-0316 Oslo, Noruega c Universiti Malásia Terengganu, Faculdade De Ciência e Tecnologia, 21030 Kuala Terengganu, Terengganu, Malásia Recebido em 21 de setembro de 2017. Revisado em 2 de maio de 2017. Aceito em 13 de julho de 2017. Destaques O conceito de meia vida é estendido para Levy-driven tempo contínuo autorregressivo média móvel Processos A dinâmica das temperaturas da Malásia são modeladas usando um modelo autorregressivo de tempo contínuo com volatilidade estocástica Os preços futuros sobre a temperatura tornam-se constantes quando o tempo até a maturidade tende ao infinito A convergência no tempo até a maturidade está em uma taxa exponencial dada pelos eigenvalores do modelo de temperatura. Ampliamos o conceito de meia-vida de um processo de OrnsteinUhlenbeck para processos de média móvel auto-regressivos em tempo contínuo conduzidos por Lvy com volatilidade estocástica. A meia-vida torna-se dependente do estado, e analisamos suas propriedades em termos das características do processo. Um exemplo empírico baseado nas temperaturas diárias observadas em Petaling Jaya, Malásia, é apresentado, onde o modelo proposto é estimado e a distribuição da semi-vida é simulada. A estacionaridade da dinâmica produz preços de futuros que assintoticamente tendem a ser constantes a uma taxa exponencial quando o tempo até a maturidade vai para o infinito. A taxa é caracterizada pelos autovalores da dinâmica. Uma descrição alternativa desta convergência pode ser dada em termos do nosso conceito de meia-vida. Classificação JEL Palavras-chave Processos CARMA Estacionaridade Meia vida Reversão média Tabela 1. Fig. 1. Tabela 3. Fig. 2. A FEB reconhece o apoio financeiro do projecto Managing Weather Risk in Electricity Markets (MAWREM) financiado pelo Conselho Norueguês de Investigação sob a subvenção RENERGI 216096. Dois revisores anónimos são agradecidos pela sua leitura cuidadosa e críticas de uma versão anterior deste documento, Para uma melhoria significativa da apresentação. Copyright 2017 Elsevier B. V. Todos os direitos reservados. Citando artigos ()
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